教大家区分什么是置信区间和置信水平？

  而很多同学备考SAT的时候还没有学AP，或者即使学了也没有选修统计学。为了帮助同学们更好的备考，英度教育SAT张宇老师今天就给同学们带来史上最详细概念解析：什么是置信区间和置信水平。

  让我们先看一个题：

  A random sample of 35 four-door passenger vehicles had a mean gas mileage,in miles per gallon(mpg),of 25.9 mpg.The estimate had a margin of error of 2.6 mpg at a 95%confidence level.Of the following,which is most plausible value for the true mean of the mileage of four-door passenger vehicles in general?

  A.24 mpg

  B.29 mpg

  C.32 mpg

  D.35 mpg

  题目是这样的，我们现在要算一个城市里所有汽车的油耗均值（我的天，鬼知道一个城市有多少汽车，即使知道我们也没办法去测量每辆车的油耗呀？抓狂中….）为了解决这个问题，统计学家想了个办法，就是题中说的我们找了一个样本，这个样本里有35个汽车的油耗数据（注意⚠️：一个样本未必只有一个值！样本是我们用统计学方法得到的一种数据，可以是1个，也可以是很多个），根据这35个数据算出了一个油耗平均值是25.9mpg。而我们的目的是希望通过用这个样本算出来的平均值去尽可能“准确”的“估计”所有汽车的油耗均值,而用什么办法去估计呢？就是后文给出的“The estimate had a margin of error of 2.6 mpg at a 95%confidence level”这个办法。也就是我们接下来要讲的重点：

  The estimate had a margin of error of 2.6 mpg at a 95%confidence level这句话的意思是“在95%的置信水平下的边际误差是2.6”。首先我们来看什么是边际误差是2.6？我们现在已经知道了一个样本的油耗均值是25.9mpg，但是因为我们毕竟只是抽了这么一个样本，如果就把这个值当真正的均值未免有些太粗糙太草率了，就好比大家现在玩的微信游戏跳一跳，我只玩了一次，分数是213分（惭愧…），就说所有玩跳一跳的人分数的均值就是213，恐怕说出来都没几个人信。但是如果我查了100000个人的分数，然后算出一个分数范围［132，712］，我说真实值会落在这个范围里，这种说法是不是比孤零零的一个213更有说服力？！所以这个边际误差的意思就是我们通过一种算法，在25.9mpg基础上，给出了一个范围，而这个范围就是25.9±2.6，即［23.3，28.5］这个区间，而这个区间就叫置信区间，之所以叫“置信”区间，就是我们“相信”真实的均值很有可能会落在这个范围内。那么到底有多大的可能呢？这就是我们前面说的95%的置信水平（confidence level）。这里我们首先要说明一个同学们最容易理解错误的地方：

  错误理解：95%置信区间就是有95%的概率括真实值

  很多同把95%理解为95%的概率！而95%置信水平的真正意思是：如果我们重新随机选100个样本，按照构造上面这个置信区间（即［23.3，28.5］）的方法构造100个置信区间（注意这100个置信区间可能都不一样），会有95个置信区间含真正的均值，5个不含真正的均值。

  这里对于置信区间［23.3，28.5］有2点理解至关重要：

  ▶置信区间是随机的，会根据样本的不同而变化，我们题目中算出的［23.3，28.5］只是其中的一个“确定”的区间而已，它的作用是来反衬这种方法的。

  ▶这100个置信区间一旦算出来就确定了，而真实的均值也是一个确定的值（只是我们不知道而已，上帝知道），两个都是确定的量，对于这100个区间里的任意一个区间而言，真实的均值要么在这个区间里，要么不在，根本不存在以多大的概率落在区间里。例如真实均值如果是26，那么它就一定在［23.3，28.5］这个区间里，如果均值是30，那么就一定不在［23.3，28.5］里。所以我们不能说置信区间以多大的概率含真实值。

  综上所述，对于这个题的正确理解是：我们能根据给的样本均值和边际误差构造一个区间［23.3，28.5］，这个区间的构造方法的可信度是95%（也就是说按这个方法构造100个区间，有95个含真实值），至于［23.3，28.5］这个区间要么含真实值，要么不含。

  总结一下，对于置信区间以及置信水平的理解有以下2个要点：

  1.95%不是概率！我们可以说“we have 95%confidence that the true value is between［a，b］”即我们有95%的信心，真实值会落在这个区间内。但坚决不能说区间有95的probability含真实值。

  2.题中算出的置信区间的确是“可能”含真实值的，但是这个“可能”的意思是要么含，要么不含！一般做题时我们都默认这个置信区间含真实值